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Capítulo 2ti

Distribución de momentos en vigas

20.1 INTRODUCCIÓN

En 1929 1 ' 2 y 19303, el extinto profesor Hardy Cross escribió artículos acerca del método de distri-
bución de momentos, luego de haber enseñado ese procedimiento a sus alumnos en la Universidad
de Illinois desde el año de 1924. Sus artículos señalaron el comienzo de una nueva época en el
análisis de marcos estáticamente indeterminados, dando un mayor impulso a su uso. El método
de la distribución de momentos aplicado a vigas continuas y a marcos implica un poco más de
trabajo que los métodos aproximados, pero proporciona una exactitud equivalente a la lograda con
los métodos clásicos "exactos" mucho más laboriosos.

En los capítulos anteriores, el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas compren-
dió la solución de ecuaciones simultáneas. Estas ecuaciones no son necesarias en la aplicación
dej método de la distribución de momentos, excepto en raras situaciones, como en el caso de
marcos complicados. E l método que desarrolló Cross comprende ciclos de cálculos sucesivos que
van aproximando los resultados hacia la respuesta "exacta". Las operaciones pueden suspenderse
después de dos o tres ciclos, dando un análisis aproximado muy satisfactorio, o bien, pueden con-
tinuarse hasta alcanzar la precisión deseada. Cuando se consideran estas ventajas a la luz del hecho
de que la precisión obtenida mediante los laboriosos procedimientos "clásicos" suele ser de valor
cuestionable, se comprende la gran utilidad de este método práctico y rápido.

Entre 1930 y 1960, el método de la distribución de momentos fue el más usado para el aná-
lisis de vigas continuas y de marcos. Sin embargo, desde 1960 se ha incrementado en forma ex-
traordinaria el uso de computadoras para el análisis de todo tipo de estructuras. Las computadoras
son extremadamente eficientes para resolver las ecuaciones simultáneas que se generan mediante
otros métodos de análisis. Por lo general, el software se basa en el análisis matricial descrito en los
capítulos 22 a 25 de este texto.

Aun con el software de computadora disponible, el método de la distribución de momentos
sigue siendo el más importante de los métodos "manuales" para analizar vigas continuas y mar-
cos. El ingeniero de estructuras puede efectuar con él, rápidamente, análisis aproximados para

1 Hardy Cross, "Continuity as a Factor in Reinforced Concrete Design", Proceedings of the American Concrete
lnstitute, Vol. 25 (1929), pp. 669-708.

2 Hardy Cross, "Simplified Rigid Frame Design", Report of Committee 301, Proceedings of the American Con-
crete lnstitute, Vol. 26 (1929), pp. 170-183.

3 Hardy Cross, "Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments", Proceedings ofthe Ameri-
can Society of Civil Engineers, Vol. 56, No. 5 (mayo de 1930): pp. 919-928. También, Transactions of the American
Society of Civil Engineers, Vol. 96 (1932), pp. 1-10.

413

Page 2

454 PARTE TRES ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

diseños preliminares, y también puede comprobar los resultados de la computadora, lo que es muy
importante. Además, el método de distribución de momentos puede ser el único que se use para el
análisis de estructuras pequeñas.

El atractivo del método de distribución de momentos estriba en su sencillez teórica y de apli-
cación. Cualquier persona podrá comprender rápidamente los principios básicos y entender con
claridad en qué consiste el procedimiento. En el análisis que sigue se han hecho ciertas hipótesis.
Estas son:

1. Las estructuras tienen miembros de sección transversal constante en toda su longitud, es
decir, los miembros son prismáticos.

2. Los nudos en que dos o más miembros se conectan no se trasladan.
3. Los nudos en que los miembros se conectan pueden girar, pero los extremos de todos los

miembros conectados a un nudo giran la misma cantidad que el nudo. En un nudo no hay
rotación de los extremos de los miembros entre sí o con respecto al nudo.

4. La deformación axial de los miembros se desprecia.

"El rascacielos horizontal" curvo más grande en Estados Unidos,
Boston, Massachusetts. (Cortesía de la Bethlehem Steel Corporation.)

Considerando el marco de la figura 20.1 (a), los nudos A a D están fijos contra desplaza-
miento. Sin embargo, el nudo E no está fijo, y las cargas sobre la estructura ocasionan que gire
ligeramente, tal como lo representa el ángulo 0 E en la figura 20. l (b) .

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422 PARTE TRES ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Solución.

0.0 0.44 0.56 0.5 0.5 0.0

-104.2 +104.2

+20.2

-150.0 +150.0

+25.6 -37.5

-75.0 +75.0

-37.5

+10.1

+8.3

-18.8 +12.8

+10.5 -6.4

-18.8

-6.4

+4.2

+1.4

-3.2 +5.3

+1.8 ' -2.7

-3.2

-2.7

+0.7

+0.6

-1.3 . +0.9

+0.7 -0.4

-1.3

-0.4

+0.3

+0.1

-0.2 +0.4

+0.1 -0.2

-0.2

-0.2

-88.9 +134.8 -134.8 +122.2 -122.2 +51.5

Factores de distribución

Momentos de empotramiento

Dist. 1

Momentos de transporte 1

Dist. 2

Momentos de transporte 2

Dist. 3

Momentos de transporte 3

Dist. 4

Momentos de transporte 4

Dist. 5

Final

A partir del ejemplo 20.3 se usará un procedimiento ligeramente diferente para distribuir los
momentos. Sólo un nudo a la vez será balanceado y los transportes requeridos se harán desde ese
nudo. En términos generales, es deseable (pero no necesario) balancear el nudo que tiene el ma-
yor desbalanceo, efectuar los transportes, balancear el siguiente nudo con el mayor desbalanceo,
etc., porque este proceso dará una convergencia más rápida. Este procedimiento es más rápido
que el método tabular usado en los ejemplos 20.1 y 20.2 y se desarrolla junto con la descripción
del comportamiento de una viga continua (con empotramientos imaginarios), como se hizo en la
figura 20.6.

WD

Calcule los momentos de extremo en la viga mostrada en la figura 20.9.

Figura 20.9

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CAPÍTULO 2C ¿¡TTRíSUCiÓN DE MOMENTOS EN VIGAS 423

Solución.

0.0 0.5 0.5 0.0

-208.3 +208.3

+208.3 -104.2

-78.1 -156.2 -156.2 -78.1

+78.1 +39.0

-9.8 -19.5 -19.5 -9.8

+9.8 +4.9

-1 2 -2.5 -2.5 -1.2

+ 1.2 +0.6

-0.2 -0.3 -0.3 -0.2

+0.2 +178.5 -178.5 -89.3

0.0

En el capítulo 19 se presentaron varios métodos para analizar en forma aproximada estruc-
turas estáticamente indeterminadas. La distribución de momentos es uno de los métodos "exactos"
de análisis si se lleva a cabo hasta que los momentos por distribuir y los momentos transporta-
dos resultan muy pequeños. Sin embargo, ese método puede usarse como un excelente método
aproximado en estructuras estáticamente indeterminadas si se efectúan sólo unos cuantos ciclos
de distribución.

Consideremos la viga del ejemplo 20.2. Se dice que en este problema cada ciclo de distribu-
ción termina cuando los momentos desbalanceados quedan balanceados. En la tabla 20.1 se mues-
tran las razones de los momentos totales de cada ciclo en los nudos A y C a los momentos finales
en esos nudos después que se han completado todos los ciclos. Esas razones dan una idea de qué
tan buena es la distribución parcial de momentos como método aproximado.

T A B L A 20.1 E X A C T I T U D DE LA DISTRIBUCIÓN DE M O M E N T O S DESPUÉS DE C A D A CICLO DE BALANCEO

PARA LA VIGA DEL EJEMPLO 20.2

Valores dados Momentos en Razón del Momentos en Razón del
después del el sopor te A momento aproximado el soporte C momento aproximado
ciclo núm. al momento al momento

"exac to " "exac to"
sopor te A sopor te C

1 104.2 1.172 112.5 0.921
2 94.1 1.058 118.9 0.973
3 89.9 1.011 121.5 0.994
4 89.2 1.003 122.0 0.998
5 88.9 1.000 122.2 1.000

Para muchos casos donde la estructura y/o las cargas son muy asimétricas habrá algunos
ciclos de mayor ajuste de los momentos en toda la estructura. Si no se hacen esos ajustes, la dis-
tribución de momentos no servirá como un buen método aproximado. El analista podrá reconocer
fácilmente cuándo puede detenerse el proceso con buenos resultados aproximados. Esto ocurrirá
cuando los momentos desbalanceados y los de transporte resulten muy pequeños al compararlos
con sus valores iniciales.

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CAPÍTULO 20 D I S T R I B U C I O N D E M O M E N T O S E N V I G A S 43 !

20.3 (Resp.: M A = -414.5 klb-pie, M c = -269 .2 klb-pie. 20.8

3.6 klb/pie
B 4.8 klb/pie

I = 3 000

Empotramiento

36 pies

1 = 2 000

Empotramiento

- 27 pies *\

20.4 Resuelva el problema 20.3 si se agrega una carga de 60 klb
en el centro del claro derecho.

20.5 (Resp.: M B = -580.5 klb-pie, M c = -646.8 klb-pie.) 2 0 ' 9 &esP" M B = - 6 0 0 k l b " P i e ' M c = + 2 0 3 k l b -P ¡ e ->

I constante

40 klb 60 klb
B 3.6 klb/pie C I

2.4

25 pies

40 klb

20.10

I constante

60 klb

20.6

I constante

40 kN/m B
- — : — —

Empotramiento

U 12 m 8 m
Empotramiento

12 m H

A 60 kN

I constante

50 kN
C 2.4 kN/m
I — — , — .

Empo-
tramiento

5 m 5 m

« — l O m — '

10 m 10 m

20 m-

Empotramiento

lOm

20.7 (Resp.: M B = -146.28 klb-pie, V c = 73.75 klb f . ) 2 0 1 1 (ResP-: M B = - 1 7 1 - 9 k l b -P i e > m D = -75.9 klb-pie.)

I constante

60 kN

Empotramiento

— 6 m — 6 m

12m- 9 m

I constante

40 k lb '

Empotramiento

30 pies -

15 pies 15 pies

• 30 pies »

Empotramiento

30 pies •

Page 20

432 PARTETRES ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

20.12 20.18

I constante

B 2.4 klb/pie C

I constante

Empotramiento

r* 60 pies- 60 pies-

20.13 (Resp.: M A = -165.9 klb-pie, Mc = -199.7 klb-pie.)

I constante

i c 3.6 klb/pie D
Lo, ' . . . . .

* „. ,™ f
> v

Empo-
tramiento

I"*- 30 pies - « — 40 pies 50 pies

20.19 (Resp.: M A = -48.2 klb-pie, M B = -262.0 klb-pie.)

80 klb 60 klb

Empo-
tramiento

10 pies 10 pies

-*-20 pies—*-

10 pies

C 2.4 klb/pie D 3 klb/pie
I constante

80 klb

30 pies -

-40 pies-

C 2.4 klb/pie D

20.14

I constante

40 klb

• 30 pies -

50 50
klb klb

32 pies -

16 pies 16 pies

32 pies 1 • 24 pies -

20.20

4 klb/pie

I B 3.6 klb/pie C

15 pies 15 pies

- 30 pies » • 40 pies

pies pies pies

* 30 pies »

20.15 Repita el problema 20.2 considerando que los soportes ex-
tremos A y D son soportes simples. (Resp.: M B = —723.3
klb-pie = M c . )

20.16

20.21 (Resp.: M A = -88.5 klb-pie, M c = -439.7 klb-pie.)

I constante

A R

80 klb

3.6 klb/pie

I constante

2.4 klb/pie 1.2 klb/pie

C 2.4 klb/pie D

Empotramiento

• 2 0 pies*j-*20 píes -

40 pies — - 40 pies
30 pies 30 pies

20.17 (Resp.: M B = -538.8 klb-pie, M c = -715 klb-pie.)

40 klb

l l 1 = 3 600

20 pies ^ 20 pies

fe I

40 pies H 50 pies

I = 3 600
Empo-

tramiento

• 40 pies •

Para los problemas 20.22 al 20.26 use SABLE32.
20.22 Problema 20.1.
20.23 Problema 20.3. (Resp.: M A = -414.5 klb-pie, M c =

-268.7 klb-pie.)
20.24 Problema 20.6.
20.25 Vaya a la biblioteca y lea el ensayo escrito por Hardy Cross

sobre el método de distribución de momentos. Véase la re-
ferencia en los pies de página en la primera página de este
capítulo.

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