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TitleFcts Plusieurs Variables Amphis 2
TagsTangent Matrix (Mathematics) Gradient Continuous Function Multivariable Calculus
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Table of Contents
                            Différentiabilité à l'ordre un
	Continuité
	Différentiabilité
	Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne
	Théorèmes opératoires classiques
Continue différentiabilité à l'ordre 1
	Applications de classe C1
	Taylor-Lagrange à l'ordre un
	C1-difféomorphismes
Etude locale à l'ordre 2
	Continue différentiabilité à l'ordre k
	Matrice Hessienne
	Développement à l'ordre deux
                        
Document Text Contents
Page 1

Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre,
2ème année)

Emmanuel Risler

Pôle de mathématiques, INSA de Lyon

30 mars 2007

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

Page 2

Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Continuité
Di�érentiabilité
Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne
Théorèmes opératoires classiques

Rappels sur la continuité

Soient (E , ‖ . . . ‖E ), (F , ‖ . . . ‖F ) deux espaces vectoriels normés.

Dé�nition

Une application f : E → F est dite continue en a ∈ E si :

∀ε > 0, ∃α > 0
∣∣ ‖x − a‖E ≤ α ⇒ ‖f (x)− f (a)‖F ≤ ε,

ou de manière équivalente : lim
‖x−a‖E→0

‖f (x)− f (a)‖F = 0.

Question : cette dé�nition dépend-elle du choix de ‖ . . . ‖E et
‖ . . . ‖F ?

non si E et F sont de dimension �nie (car en dimension �nie

toutes les normes sont équivalentes).

a priori oui si E ou F est de dimension in�nie (en dimension

in�nie deux normes peuvent ne pas être équivalentes).

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

Page 21

Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Continuité
Di�érentiabilité
Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne
Théorèmes opératoires classiques

Di�érentiabilité de la combinaison linéaire et du produit

Soient (E , ‖ . . . ‖E ) et (F , ‖ . . . ‖F ) deux espaces vectoriels normés.
La di�érentielle est un opérateur linéaire :

Proposition

Si f et g sont deux applications : E → F di�érentiables en a ∈ E
et (λ, µ) ∈ R2, alors λf + µg est di�érentiable en a et :

d(λf + µg)a = λdfa + µdga

Proposition

Si f et g sont deux applications : E → R di�érentiables en a ∈ E,
alors le produit f · g est di�érentiable en a et :

d(f · g)a = f (a) · dga + g(a) · dfa

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

Page 22

Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Continuité
Di�érentiabilité
Dérivées partielles et directionnelles, matrice Jacobienne
Théorèmes opératoires classiques

Di�érentiabilité de la composée

Soient (E , ‖ . . . ‖E ), (F , ‖ . . . ‖F ) et (G , ‖ . . . ‖G ) trois espaces
vectoriels normés.

Proposition

Si f : E → F est di�érentiable en a ∈ E et g : F → G est
di�érentiable en f (a), alors g ◦ f : E → G est di�érentiable en a et :

d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa

Autrement dit, la Jacobienne de la composée est simplement le

produit des Jacobiennes, calculées aux points adéquats :

Jg◦f (a) = Jg (f (a)) · Jf (a).

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

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Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Continue di�érentiabilité à l'ordre k
Matrice Hessienne
Développement à l'ordre deux

Egalité de Taylor-Lagrange à l'ordre deux

Soient :

Ω un ouvert de R
n,

f : Ω → R une application C 2,
(a, h) ∈ (Rn)2 tel que le segment

[a; a + h] = {a + th
∣∣ 0 ≤ t ≤ 1}

soit tout entier inclus dans Ω.

Théorème

Il existe θ ∈]0; 1[ tel que :

f (a + h) = f (a) + dfa(h) +
1

2
d2fa+θh(h, h)

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

Page 42

Di�érentiabilité à l'ordre un
Continue di�érentiabilité à l'ordre 1

Etude locale à l'ordre 2

Continue di�érentiabilité à l'ordre k
Matrice Hessienne
Développement à l'ordre deux

Taylor-Young à l'ordre deux

Théorème

Si f : R
n → R est une application de classe C 2 au voisinage d'un

point a ∈ Rn, alors, ∀h ∈ Rn,

f (a + h) = f (a) + dfa(h) +
1

2
d2fa(h, h) + ‖h‖2ε(h),

où ε(h) → 0 quand ‖h‖ → 0.

Emmanuel Risler Fonctions de plusieurs variables (2ème semestre, 2ème année)

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