Download Geometrie descriptiva PDF

TitleGeometrie descriptiva
File Size17.9 MB
Total Pages178
Document Text Contents
Page 1

Geometrie descriptivă

- 3 -

CUPRINS:


1. INTRODUCERE .......................................................................................pag. 7

1.1. Originea şi scopul geometriei descriptive..................................................... 7
1.2. Scurt istoric.................................................................................................... 7
1.3. Sisteme de proiecţie..................................................................................... 8
1.4. Proprietăţi geometrice ale proiecţiilor........................................................... 9

2. REPREZENTAREA PUNCTULUI ..........................................................pag. 11

2.1. Proiecţia dublu ortogonală.......................................................................... 11
2.2. Epura punctului........................................................................................... 12
2.3. Plane bisectoare......................................................................................... 13
2.4. Alfabetul descriptiv al punctului.................................................................. 14
2.5. Tripla proiectie ortogonală.......................................................................... 14
2.6. Aplicaţii........................................................................................................ 16

3. REPREZENTAREA DREPTEI................................................................pag. 22

3.1. Epura şi urmele dreptei.............................................................................. 22
3.2. Proiecţia dreptei pe planul lateral................................................................ 23
3.3. Citirea epurei unei drepte............................................................................ 23
3.4. Drepte în poziţii particulare faţă de planele de proiecţie.............................. 25
3.4.1. Drepte paralele cu planele de proiecţie ............................................... 25
3.4.2. Drepte conţinute în planele de proiecţie............................................... 26

3.4.3. Drepte perpendiculare pe planele de proiecţie............................. 27
3.4.4. Dreapta perpendiculară pe linia pǎmântului ................................ 28
3.4.5. Dreapta care intersectează linia pământului.................... 28

3.5. Poziţiile relative a douǎ drepte................................................................... 29
3.5.1. Drepte paralele ................................................................................... 29
3.5.2. Drepte concurente............................................................................... 30
3.5.3. Drepte oarecare.................................................................................. 32
3.6. Proiecţia unghiurilor plane.......................................................................... 33
3.7. Aplicaţii........................................................................................................ 34

4. REPREZENTAREA PLANULUI............................................................. pag. 37

4.1. Urmele planului........................................................................................... 37
4.2. Drepte conţinute în plan.............................................................................. 39
4.2.1. Dreaptă oarecare................................................................................. 39
4.2.2. Drepte particulare ale planului................................. ........................... 39
4.2.3. Drepte de cea mai mare pantă ale planului (d.d.c.m.m.p.)………....... 41
4.3. Punct conţinut în plan................................................................................. 42
4.4. Plane în poziţii particulare faţǎ de planele de proiecţie.............................. 43
4.4.1. Plane perpendiculare pe pIanele de proiecţie .................................... 43
4.4.2. Plane paralele cu planele de proiecţie................................................. 45
4.5. Poziţiile relative a două plane..................................................................... 46
4.6. Poziţiile relative ale dreptei faţă de plan..................................................... 49
4.7. Aplicaţii........................................................................................................ 51

Page 2

Geometrie descriptivă

- 4 -


5. POLIEDRE ........................................................................................... pag. 55

5.1. Generalităţi................................................................................................... 55
5.2. Reguli de reprezentare................................................... ............................. 56
5.3. Punct curent pe suprafaţa unui poliedru....................................................... 58
5.4. Secţiuni plane în poliedre............................................................................. 58

5.4.1. Secţiuni cu plane proiectante......................................................... .. 58
5.4.2. Secţiuni cu plane oarecare. ............................................................. 59

5.5. Intersecţia unei drepte cu un poliedru............................................................ 61
5.6. Desfăşurarea poliedrelor............................................................................. ... 62

5.6.1. Piramida oblică ................................................................................ 63
5.6.2. Trunchi de piramidă.......................................................................... 64

5.6.3. Prisma dreaptă....................................................................................... 64
5.6.4. Prisma oblică...................................................................................... 65

5.7. Aplicaţii .......................................................................................................... 66


6. CORPURI DE ROTAŢIE........................................................................pag. 71

6.1. Generalităţi. Reguli de reprezentare............................................................... 71
6.1.1. Conul oblic............................................................................................... 71
6.1.2. Cilindru oblic............................................................................................ 72
6.1.3. Sfera........................................................................................................ 72
6.2. Plane tangente la suprafaţă............................................................................ 73
6.3. Secţiuni plane în suprafeţe curbe.................................................................... 74

6.3.1. Secţiuni cu plane proiectante............................................................. 75
6.3.2.Secţiuni cu plane oarecare................................................................ 76
6.3.3. Secţiuni plane în conul de rotaţie...................................................... 79

6.4. Intersecţii de drepte cu suprafeţe curbe.......................................................... 81
6.4.1. Con oblic intersectat de o dreaptă oarecare...................................... 81
6.4.2. Intersecţia unei drepte cu un cilindru oblic......................................... 82
6.4.3. O dreaptă oarecare intersectează o sferă........................................ . 82

6.5. Desfăşurarea suprafeţelor curbe...................................................................... 83
6.5.1.Desfăşurata suprafeţei laterale a unui con circular drept.......................... 83

6.5.2.Desfăşurata trunchiului de con............................................................. 83
6.5.3. Desfăşurata suprafeţei laterale a unui cilindru circular drept.............. 84

6.6. Aplicaţii.............................................................................................................. 85


7. INTERSECŢII DE CORPURI..................................................................pag. 89

7.1. Clasificări. Metoda planelor auxiliare................................................................ 89
7.2. Intersecţii de poliedre................................................... .................................... 91
7.3. Intersecţii de suprafeţe cilindro-conice.............................................................. 95
7.4. Intersecţii de poliedre cu suprafeţe curbe.......................................................... 97
7.5. Aplicaţii.............................................................................................................. 99

Page 89

Geometrie descriptivă

- 91 -


Fig. 7.6.a.b. Pătrunderi în cilindru respectiv în con.


Concluzie: dacă fiecare plan limitǎ secţionează câte una din suprafeţe, este vorba de o
smulgere; dacă ambele plane limită secţionează aceeaşi suprafaţă, este vorba de o
pătrundere.

7.2. Intersecţii de poliedre


Două poliedre se intersectează după unul sau două poligoane (smulgere respectiv
pătrundere) ale căror vârfuri rezultă la intersecţia muchiilor unuia din poliedre cu feţele
celuilalt şi invers, şi ale căror laturi sunt segmentele de dreaptă după care se intersectează
feţele celor două corpuri.

Deoarece pentru determinarea poligonului de intersecţie este suficient să se
cunoască vârfurile lui, metoda planelor auxiliare arătată mai sus se va aplica şi la
intersecţia poliedrelor. În acest caz este suficient să se ducă planele de secţiune
longitudinală doar prin muchiile celor două poliedre.

În cele ce urmează se va arăta, pe un exemplu concret, ordinea operaţiilor grafice în
epură.


Fie prisma abc a1b1c1, a'b'c' a1'b1’c1’ (figura 7.7) care se intersectează cu piramida
mnrs, m'n'r's', ambele cu baze triunghiuri aşezate în planul H.


Prin vârful s,s' al piramidei se duce dreapta sh, s'h' paralelă cu muchiile prismei.

Toate planele auxiliare care trec prin sh, s'h' vor tăia cele două suprafeţe după
generatoare. Determinarea vârfurilor poligonului de intersecţie se face întâi în proiecţia
orizontală.


Se duc prin h urmele celor două plane limită, hn respectiv ha; rezultă zona inutilă

(haşurată în epură) dbe în prismă şi urv în piramidă; suntem deci în prezenţa unei
smulgeri; muchia BB1 a prismei nu întâlneşte piramida, iar muchia RS a piramidei nu
întâlneşte prisma.

Pentru a avea duse plane auxiliare prin toate muchiile aflate în zona utilă, se mai duc
înafara celor două plane limitǎ, planul de urmă hm prin muchia sm, s'm' şi planul de urmă
hc prin muchia cc1, c'c1’.


Cele patru plane auxiliare determină cele opt vârfuri ale poligonului de intersecţie.

Într-adevăr, în proiecţia orizontală, planul hn intersectează prisma după generatoarele din
d şi e (paralele cu muchiile prismei) şi piramida după muchia sn.

La intersecţia lor se obţin punctele 3 respectiv 6 în care muchia sn a piramidei inter-
sectează prisma. În mod analog, cu ajutorul planului hm se obţin generatoarele din f şi g
care se intersectează cu muchia ms în punctele 2 respectiv 7. Însfârşit, cu hc se obţin qs
şi ts care se intersectează cu cc1 în 8 respect în 5, iar cu ha se obţin us şi vs care dau cu
aa1 pe 1 respectiv 4.

Page 90

Geometrie descriptivă

- 92 -

Ordinea în care trebuie unite punctele astfel aflate pentru a obţine proiecţia orizontală
a poligonului de intersecţie nu poate fi stabilită decât rareori prin simpla observare a celor
două suprafeţe. De aceea este indicat a se folosi aşa-numita metodă a mobilului, care
stabileşte o anumită ordine în succesiunea operaţiilor.

Conform acestei metode, planele auxiliare utilizate sunt privite ca diversele poziţii
ocupate de un acelaşi plan mobil care se roteşte în jurul dreptei sh, s'h'. Fiecărei poziţii a
acestui plan îi corespunde o generatoare pe prismă şi una pe piramidă, iar la intersecţia
lor, un punct de pe poligonul de intersecţie.

Când planul se roteşte într-un anumit sens, urmele orizontale ale celor douǎ
generatoare se mişcǎ pe urmele celor două poliedre în acelaşi sens, iar punctul de
intersecţie al generatoarelor descriu în spaţiu poligonul de intersecţie în sensul în care
trebuie unite între ele punctele obţinute.

În epura 7.7, succesiunea operaţiilor este indicată prin săgeţi pe cele douǎ urme ale
suprafeţelor (în epură reproduse separat în acest scop), iar rezultatele obţinute sunt
trecute într-un tabel (Tabelul 7.1.) în care se înscriu: pe primul rând, urmele
generatoarelor de pe baza prismei; pe al doilea, urmele generatoarelor corespunzătoare
de pe baza piramidei, iar pe al treilea, punctele de intersecţie respective de pe poligonul
din spaţiu.

Deplasarea planului mobil se face pornind de la o poziţie oarecare, spre exemplu, a
de pe prismă, u de pe piramidă, şi se face într-un anumit sens, cel indicat de săgeţi.
Poziţiei iniţiale a planului îi corespund deci generatoarele care pornesc din a de pe prismă
şi din u de pe piramidă; ele se întâlnesc în punctul notat cu 1 în tabel, corespunzător unui
vârf al poligonului de intersecţie.

Mişcând planul mobil în sensul arătat de săgeţi, se ajunge la generatoarele f pe
prismă, m pe piramidă şi punctul de intersecţie 2, iar în poziţia următoare, în d, n şi
punctul 3. Ajuns în poziţia limită, planul mobil se întoarce înapoi; pe prismă de la
generatoarea din d se ajunge la cea din a, iar pe piramidă de la cea din n se trece la cea
din v, Ia intersecţia lor se obţine punctul 4. Ajuns din nou într-o poziţie limită, planul mobil
se întoarce; pe prismă se ajunge de la a la c, iar pe piramidă de la v la t , în tabelă se
înscrie punctul corespunzător 5. Urmând în continuare drumul arătat de săgeţi, se obţin
succesiv: e-n-6, g-m-7, c-q-8 şi, în sfârşit, prin a-u-1 se ajunge de unde s-a plecat.

Unind acum proiecţiile vârfurilor poligonului de intersecţie din epură în ordinea
arătată de numerele din tabel, se obţin şi proiecţiile orizontale ale laturilor poligonului.

Proiecţiile verticale ale vârfurilor poligonului de intersecţie rezultă la intersecţia liniilor
de ordine duse din proiecţiile orizontale ale acestora, cu proiecţiile verticale ale muchiilor
corespunzătoare. Laturile poligonului se obţin unind vârfurile în aceeaşi ordine cu a
numerelor din tabel.


Pentru a stabili laturile văzute şi nevăzute ale poligonului în fiecare din cele

două proiecţii se caută vizibilitatea în proiecţia respectivă a feţelor care au dat
naştere prin intersecţia lor la latura corespunzătoare a poligonului. Se ştie că un
segment poate fi văzut numai dacă provine din intersecţia a două feţe văzute. Cercetarea
vizibilităţii se poate face direct în tabela întocmită pentru mişcarea planului mobil. Din
tabelă se deduce că latura 1-2, spre exemplu, rezultă din intersecţia feţei af a prismei, cu
faţa um a piramidei. În ce priveşte proiecţia orizontală, întrucât a-f este văzută şi u-m este
văzută, rezultă că latura 1-2 este vizibilă.

Un raţionament similar conduce la stabilirea vizibilităţii poligonului de intersecţie în
proiecţia verticală. Se poate utiliza acelaşi tabel pe care se marchează porţiunile nevăzute
în proiecţia verticală cu liniuţe de culoare diferită sau un semn oarecare (v) diferit, de
primul. Rezultă că numai latura 1'-8' a poligonului este văzutǎ.

Page 177

Geometrie descriptivă

- 179 -

Page 178

Geometrie descriptivă

- 180 -




BIBLIOGRAFIE



1. BATRAN, B, ş.a., Fachwissen Bau, Handwerk und Technik, Hamburg, 1991;




2. DRAGOMIR, V., TEODORESCU, Şt., Geometrie descriptivă, umbre, perspective,
EDP, Bucureşti, 1977;



3. DRĂGAN, D., MÂRZA, C., Geometrie descriptivă – probleme, Editura U.T.
PRES, Cluj-Napoca, 2005;



4. IANCĂU, V., ZETEA, E., Reprezentări geometrice, îndrumător de lucrări, Litografiat
I.P.C.N., 1980;


5. GROZA, O., Geometrie descriptivă, teorie şi aplicaţii, Editura Universităţii din Oradea, 2006;





6. HULE, V., Geometrie descriptivă şi desen tehnic, Editura Universităţii din Oradea, 2003;




7. NOVEANU, L., ORBAN, M., Geometrie descriptivă şi aplicaţii, Editura UT Cluj-
Napoca,1997;



8. MOCANU, R., TEODORESCU, E., PAPAE, M., PRUNDEANU, D., Desen de arhitectură şi
sistematizare, EDP Bucureşti 1973;



9. TĂNĂSESCU, A., Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie, EDP,
Bucureşti,1975.

Similer Documents