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                            Fig.6.3.Momentos en los extremos de una viga con diferentes condiciones de apoyo
Fig.6.4. Viga con un apoyo elástico
Fig.6.5. Nodo i soportado por apoyos elásticos
Ejemplo 4
Fig.E4.1. Viga con un apoyo elástico
DATOS GENERALES DE LA ESTRUCTURA
INCIDENCIAS DE LOS ELEMENTOS
CONDICIONES DE CONTORNO
PROPIEDADES DEL MATERIAL NUMER0  =  1
CARGAS EN LOS ELEMENTOS
VECTOR DE CARGAS NODALES EQUIVALENTE
MATRIZ LOCAL DEL ELEMENTO NÚMERO:  1
MATRIZ LOCAL RELATIVA AL SISTEMA GLOBAL
DE REFERENCIA DEL ELEMENTO NÚMERO:    1
MATRIZ LOCAL DEL ELEMENTO NÚMERO:  2
MATRIZ LOCAL RELATIVA AL SISTEMA GLOBAL
DE REFERENCIA DEL ELEMENTO NÚMERO:    2
MATRIZ GLOBAL ANTES DE INTODUCIR LAS
CONDICIONES DE CONTORNO
MATRIZ GLOBAL DESPUES DE INTODUCIR
LAS CONDICIONES DE CONTORNO
VECTOR DE CARGAS NODALES EQUIVALENTE DESPUES DE
INTRODUCIR LAS CONDICIONES DE CONTORNO
DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS
ELEMENTO: VIGA DE EJE RECTO
REACCIONES EN LOS APOYOS
Fig.E6.4.2. Acciones de extremo de miembro y diagrama de cuerpo libre del resorte.
Ejemplo 5
                        
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Zeferino Da Fonseca

Análisis matricial de estructuras reticulares



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Nótese que 5421 uyu,u,u son rotaciones y 63 uyu son traslaciones. El
sistema local de referencia seleccionado permite determinar, directamente, del
elemento de viga ya estudiado, cuatro de las seis ecuaciones que relacionan
las “fuerzas” con los “desplazamientos” de este elemento. Así, los coeficientes
de rigidez mostrados en la Fig.5.17 (se invita al lector a la respectiva
verificación), son:



1.0

k63

k53

k33

k23
x

z

y

(a)

k66

k26

k36
k56

x

z y

(b)

1.0

k62

k52

k32

k22

x

z

y

(c)

1.0

k65

k25

k35

k55

x

z y

(d)

1.0


Fig.5.17 Coeficientes de rigidez de un elemento parrilla


De la Fig.5.17a, u3 = 1.0, luego:

333 L
EI

12k ; 223 L
EI

6k ; 253 L
EI

6k ; 363 L
EI

12k


De la Fig.5.17b, u6 = 1.0, por lo tanto:

366 L
EI

12k ; 256 L
EI

6k ; 336 L
EI

12k ; 226 L
EI

6k


De la Fig.5.17c, u2 = 1.0, entonces:

L
EI

4k 22 ; L
EI

2k52 ; 232 L
EI

6k ; 262 L
EI

6k


Finalmente, de la Fig.5.17d; u5 = 1.0, luego:

L
EI

4k55 ; L
EI

2k 25 ; 265 L
EI

6k ; 235 L
EI

6k

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Zeferino Da Fonseca

Análisis matricial de estructuras reticulares



125


Para determinar los coeficientes de rigidez asociados a la torsión
considérese el elemento de sección transversal circular mostrado en la
Fig.5.18. De la mecánica de materiales se sabe que para un elemento de
sección transversal circular uniforme, el ángulo de rotación entre dos secciones
transversales circulares, separadas una distancia L, viene dado por:


Fig.5.18 Elemento de sección transversal circular sometido a torsión



JG
TL

(5.47)


donde: T: es el torque entre las dos secciones; L es la distancia entre dos
secciones; J es el momento polar de inercia de la sección transversal y G es el
módulo de rigidez del material.

Luego, la rigidez torsional viene dada por: LJG . Esta rigidez torsional
permite relacionar los momentos torsores 41 fyf con los desplazamientos
torsionales (rotacionales) 41 uyu .

Hay que recordar, sin embargo, que las secciones transversales circulares
son las únicas que permanecen planas después de la aplicación del par torsor;
es decir no se generan desplazamientos paralelos al eje x del elemento
(perpendicular a la sección transversal). Para cualquier otro tipo de sección
transversal, después de la aplicación del par torsor, ésta sufrirá lo que da en
llamar “alabeo”; es decir, aparecen desplazamientos longitudinales y la sección
transversal ya no permanece plana. Algunas porciones de la sección
transversal tendrán desplazamientos en el sentido positivo del eje x, y otras
tendrán desplazamientos negativos. Sin embargo, éste alabeo es,
generalmente despreciado para la mayoría de los componentes estructurales y
por lo tanto, en lo que sigue, no se considerarán.

Así pues, la matriz local de rigidez para este elemento viene dada por:

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Análisis matricial de estructuras reticulares



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29.- Claypeyron, B. P. E. , “Comtes Rendus”, 45, 1067, 1857.

30.- Coulomb,C.A. , “Essai sur une application des règles de maximis et
minimis à qulques problèmes de statique, relatifs à l’architecture”., Memoirs de
Màthèmatique et de Physique, pp. 343-382, 1776.


31.- Cross, H. , “ Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End
Moments”., Proc. Am. Civ. Engrs., May, 1930.


32.- Maney, G. A., “Studies in Engineering”. Nº 1. University of Minnesota,
1915.


33.- Maxwell, J. C., “ On the calculations of the Equlibrium and Stiffness of
Frames”, Phil. Mag. (4), 27,294,1864.


34.- Mohr, O., “Beitrag zur Theorie der Holz un Eisen Konstruktionen”.
Zeitschrift des Architekten und Ingenieur Verdines zu Hannover, 1868.


35.- Müller -Breslau, H., F. B., “Die Neuren Methoden der Festigkeitslehre und
der Statik der Baukonstruktionen”. Berlin, 1886.


36.- Navier, L. M. H., “Ré sumé des leçons dones à l’ecole des Ponts et
Chaussées sur l’application de la méchanique à l’établissement des
constructions et des machines”. 1826.


37.- Southwell, R. V., “An Introction to the Theory of Elasticity”. London: Oxford
University Press, 1936.


38.- Westergaard, H. M. , “ One Hundred Fifty Years Advanced in Structural
Analysis”. Trans. Am. Soc. Civ. Engrs., 94, 226-240, 1930.



39.- Dym, C. L., Shames, I. H., “Solid Mechanics a Variational Approach”.
MacGraw-Hill. 1973.

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Maracaibo, Venezuela

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