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Table of Contents
                            Tabla de contenidos
Lista de tablas
Lista de figuras
Prólogo
Lenguaje Matemático
	Introducción
	Lenguaje Matemático
		Proposiciones
		Conectivos
		Predicados
		Cuantificadores
	Las Leyes de la Lógica
		Verdad
		Verdad lógica
		Contradicciones
		Equivalencia lógica
		Consecuencia lógica
		Verdades lógicas usuales
	Aplicaciones
		Negación de una proposición dada
		Demostraciones por contradicción
		Demostraciones por contraposición
	Problemas Resueltos
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 1
Los Números Reales
	Sistemas Numéricos
	Operaciones Básicas en los Números Reales: Suma y Producto
	Orden de los Números Reales
	Conjuntos de Números Reales
	Completud de los Números Reales
	Ecuaciones e Inecuaciones
		Ecuaciones en una variable
		La ecuación de primer grado
		La ecuación de segundo grado
		Inecuaciones en una variable
		Inecuación de primer grado
		Inecuación de segundo grado
	Problemas Resueltos
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 2
Relaciones y Funciones
	Pares Ordenados y Producto Cartesiano
	Relaciones
		Noción intuitiva
	Gráfico de Relaciones Reales
		Ecuación e inecuación de primer grado
	Concepto de Función y Propiedades Básicas
	Gráficos de las Funciones Reales
	Estudio de una Función Real
	Sucesiones
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 3
Trigonometría
	Las Razones Trigonométricas
	Las Funciones Trigonométricas
		Estudio de la función seno
		La función coseno
		Las otras funciones trigonométricas
	Identidades Trigonométricas
	Resolución de Ecuaciones Trigonométricas
		Función seno
		Función coseno
		Función tangente.
	Funciones Trigonométricas Inversas
		Función inversa del seno
		Función inversa del coseno
		Función inversa del tangente
	Resolución de Triángulos
		Área de un triángulo
		Teorema del seno
		Teorema del coseno
		Problemas Resueltos
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 4
Números Naturales
	Propiedades Básicas de los Números Naturales
	Inducción Matemática
	Definiciones Recursivas
	La Exponenciación
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 5
Aplicaciones de Inducción
	Sumatoria
	Una Desigualdad Importante
	Teorema del Binomio
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 6
Polinomios y Números Complejos
	Números Complejos
		Introducción
		El sistema de los números complejos
	Forma Polar de un Número Complejo
		Gráfico de números complejos
		Teorema de DeMoivre
	Polinomios
		División de un polinomio por un polinomio de grado uno
		Teorema Fundamental del Álgebra
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 7
Logaritmo y Exponencial
	Introducción
	La Función Exponencial
		Ejemplos de modelamiento con la función exponencial natural
	La Función Logaritmo
		Cambio de base
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 8
Geometría Analítica
	La Línea Recta
		Pendiente e inclinación de una recta
		Ecuación de la recta
	Distancia de un Punto a una recta
	La Circunferencia
		Eje radical
	La Parábola
		Ecuación de la parábola
		Elementos de una parábola
		Translación de ejes coordenados
	La Elipse
		La ecuación de la elipse
		Los elementos de la elipse.
	La Hipérbola
		La ecuación de la hipérbola.
		Elementos de la hipérbola.
	Ecuación General de Segundo Grado
		Rotación de ejes coordenados
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 9
Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones
	Axioma del Supremo
		Axioma del Supremo
	Limites de Sucesiones
		Teorema del Sandwich
	Ejercicios Propuestos
Table of contents
Autoevaluación 10
Table of contents
Autoevaluación 11
Respuestas a Algunos Ejercicios
	Capítulo 1
	Autoevaluación 1
	Capítulo 2
	Autoevaluación 2
	Capítulo 3
	Autoevaluación 3
	Capítulo 4
	Autoevaluación 4
	Autoevaluación 5
	Capítulo 6
	Autoevaluación 6
	Capítulo 7
	Autoevaluación 7
	Capítulo 8
	Autoevaluación 8
	Capítulo 9
	Autoevaluación 9
	Capítulo 10
	Autoevaluación 10
	Autoevaluación Final
BIBLIOGRAFÍA
	TEXTOS
	VIDEOS
                        
Document Text Contents
Page 1

Álgebra e
Introducción al Cálculo
Dra. Irene F. Mikenberg

Page 2

Álgebra e Introducción al Cálculo

Dra. Irene F. Mikenberg

Page 244

6.2. Una Desigualdad Importante 223

Una Desigualdad Importante 6.2

Definición

Definición 6.2 Promedio aritmético
Sean a1, ... , an ∈ R+, se define el promedio aritmético de a1, ... , an como el nú-
mero real A tal que

A =
a1 + · · · + an

n
.

Definición 6.3 Promedio geométrico
Sean a1, ... , an ∈ R+, se define el promedio geométrico de a1, ... , an como el nú-
mero real G tal que

G = n


a1 ... an.

Definición 6.4 Promedio armónico
Sean a1, ... , an ∈ R+, se define el promedio armónico de a1, ... , an como el nú-
mero real H tal que

H =
n

1
a1

+ · · · + 1an
.

Page 245

224 Capítulo 6. Aplicaciones de Inducción

Observación

Si n = 2, A =
a1 + a2

2
, de donde

a1 − A = a1 −
(a1 + a2)

2
=

a1 − a2
2

y A− a2 =
a1 + a2

2
− a2 =

a1 − a2
2

luego a1, A, a2 forman una P.A. lo que justifica que A se llame medio o promedio
aritmético entre a1 y a2.

Análogamente G =


a1, a2, H =
2

1
a1

+
1
a2

justifican sus nombres de manera

análoga.

Proposición

Proposición 6.3 Sean n ∈ N, n > 1 y sean a1, ... , an ∈ R+ no todos iguales a 1
tales que a1 · ... · an = 1. Entonces a1 + · · · + an > n.

Demostración

Por inducción sobre n ≥ 2.
Si n = 2, tenemos a1, a2 ∈ R+ no todos iguales a 1 tales que a1 · a2 = 1. Como al

menos uno de ellos no es 1, podemos suponer sin pérdida de generalidad que a1 6= 1 y
como a2 =

1
a1

se tiene también que a2 6= 1.

Dado que ambos son positivos y diferentes de 1, debe haber uno de ellos mayor que
1 y el otro menor que 1; pues si ambos fueron menores que 1 su producto también sería
menor que 1 (argumento similar en el caso que ambos sean mayores que 1).

Supongamos entonces que a1 < 1 y a2 > 1. Así:

(a2 − 1) > 0 y (1− a1) > 0.

Luego,
(a2 − 1)(1− a1) > 0 .

Por lo tanto, a2 + a1 − 1− a1 · a2 > 0 (∗)

Page 488

Index 467

progresión aritmética
definición, 194

progresión armónica
definición, 195

progresión geométrica
definición , 194

promedio aritmético, 223
promedio armónico, 223
promedio geométrico, 223
proposiciones, 2
proposición

simple, 4

radián, 138
raíz, 266
recta

distancia de un punto a, 307
ecuación

forma común, 305
punto-pendiente, 304
simétrica, 305

inclinación, 302
pendiente, 302

rectas
paralelas, 303
perpendiculares, 303

relación binaria, 78
resto, 269

semirecta positiva, 38
seno, 139
sumatoria, 191
supremo, 350

tabla de verdad, 11
tangente, 139, 143
teorema de las proyecciones, 168
trazo unitario, 38
trivialmente verdadera, 10

unión de conjuntos
definición, 193

variables, 5
verdades lógicas, 12

ínfimo, 350

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