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TitlePrácticas de Matemáticas con Mathematica para Ingenieros Autor : Calixto Molina, Manuel. (biblioteca eArquitectura)
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Page 1

Prácticas de Matemáticas

con Mathematica para

Ingenieros

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

Manuel Calixto

Departamento de Matemática Aplicada y Estadística
Universidad Politécnica de Cartagena

Page 2

Manuel Calixto Molina

Profesor Titular de Matemática Aplicada
de la Universidad Politécnica de Cartagena













Prácticas de Matemáticas


con Mathematica para


Ingenieros












Depósito Legal: MU-1347-2002


I.S.B.N.: 84-607-5156-2


Julio-2002

Page 89

In[18]:= r#t_' : �Cos#t', Sin#t',
t
ccccc

3


rtrayectoria ParametricPlot3D$�Cos#t', Sin#t',
t
ccccc

3
, �t, �4 S, 4 S�(;

-1-0.500.5
-1.50
0.51

-4

-2

0

2

4-1
.500.5

1

tenemos que la longitud de un arco de hélice entre w=-4S y w=t es

In[20]:= l#t_' : longitudarco#r, �4 S, t'

Bajo ciertas condiciones, esta longitud de arco l(t) tiene inversa t(l), la cual podemos calcular mediante:

In[21]:= Solve#l#t' l, t'
t#l_' t s. %317

Out[21]= ��t � � �3 l � 4
r�������
10 S

cccccccccccccccccccccccccccccccccccr�������
10



Out[22]= �
�3 l � 4

r�������
10 S

cccccccccccccccccccccccccccccccccccr�������
10

La curva r¶+t/ puede ahora parametrizarse en función de la longitud l como u¶¹ +l/ r¶+t+l//. Puesto que t va de
�4 S to 4 S, l irá de l+�4 S/ a l+4 S/. Veamos qué aspecto tiene la hélice parametrizada por la longitud de arco:

In[23]:= u#l_' : r#t#l''
Simplify#u#l''

Out[24]= �Cos$ 3 lccccccccccccr�������
10

(, Sin$ 3 lccccccccccccr�������
10

(, lccccccccccccr�������
10



4 S
cccccccc

3


Veamos cuál es la longitud de arco para t=4S (para t=-4S la longitud debe ser cero, ¿por qué?):

In[25]:= l#�4 S'
l#4 S' ss N

Out[25]= 0

Out[26]= 26.4922

Si queremos representar la trayectoria recorrida por un móvil que se mueve sobre la hélice cuando éste ha
recorrido l=10 unidades métricas, entonces debemos utilizar la parametrización en función de la longitud del
arco de curva:

84 Geometría de curvas y superficies.nb

Page 90

In[27]:= utrayectoria ParametricPlot3D#u#l', �l, 0, 10�';

General::spell1 :
Possible spelling error: new symbol name "utrayectoria" is

similar to existing symbol "rtrayectoria".

ParametricPlot3D::ppcom :

Function u#l' cannot be compiled; plotting
will proceed with the uncompiled function.

-1-0.500.51
-1
-0.50

0.51

-4

-3

-2

-1
-1
-0.50

0.51

Comparemos con la trayectoria r¶+t/ parametrizada en función de t

In[28]:= Show#GraphicsArray#�rtrayectoria, utrayectoria�'';

-1-0.500.51
-1-0.50
0.51

-4
-2
0
2

4-1
-0.500.5

1 -1-0.500.51
-1-0.5
00.51

-4
-3
-2
-1
-1-0.5
00.51

La diferencia está en que l=10 implica t<4S. En efecto:

In[29]:= t#10' ss N

Out[29]= �3.07954

es decir, una longitud de arco l=10 es equivalente a t�-3.07954; o sea, el móvil ha recorrido algo mas del 37%
de su trayectoria entre t=-4S y t=4S. Otro aspecto interesante de parametrizar una curva por la longitud de
arco es que el vector tangente siempre tiene longitud 1; en efecto:

In[30]:= u�#l'

Out[30]= �
3 Sin$ �3 l�4

r�������
10 S

ccccccccccccccccccccccccr�������
10

(
cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccr�������

10
,

3 Cos$ �3 l�4
r�������
10 S

ccccccccccccccccccccccccr�������
10

(
cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccr�������

10
,

1
ccccccccccccr�������
10



In[31]:= Simplify#u�#l''

Out[31]= ��
3 Sin$ 3 lcccccccccr�������

10
(

ccccccccccccccccccccccccccccccr�������
10

,
3 Cos$ 3 lcccccccccr�������

10
(

ccccccccccccccccccccccccccccccr�������
10

,
1

ccccccccccccr�������
10



In[32]:= Simplify$r����������������������u�#l'.u�#l' (
Out[32]= 1

Geometría de curvas y superficies.nb 85

Page 178

In[8]:= ContourPlot#Evaluate#T#x, t' s. First#temp'',

�x, 0, 10�, �t, 0, 21�, PlotPoints � 30,

Contours � 30, ContourLines � False, ColorFunction �! Hue'

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

Out[8]= h ContourGraphics h

donde las zonas rojas (extremos del vástago) indican baja temperatura y las azules y violetas (centro del
vástago) indican alta temperatura. De cualquiera de las tres formas vemos que la temperatura tiende paulatina-
mente a cero en todos los puntos del vástago.

Ejercicio

Repita el ejercicio anterior para un vástago de longitud L=20, en contacto con dos termostatos a temperaturas
T1 0, T2 8 y condición inicial T+x, 0/ x

3/1000

176 Ecuaciones en Derivadas Parciales. Animaciones.nb

Page 179

Bibliografía

Ê S. Wolfram, "The Mathematica book", Ed. Wolfram Media & Cambridge University Press.

Ê R. Gass, "Mathematica for Scientists and Engineers", Prentice-Hall (1998).

Ê G. Aguilar / A. Fernández, "Ecuaciones Diferenciales: prácticas con Mathematica", Prensas Universitarias de
Zaragoza (1997).

Bibliografía.nb 177

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