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Table of Contents
                            Portada
Prologo
Prefacio
Resumen de contenido
Contenido
Parte I. Computacion basica para ingenieria
1. Resolucion de problemas de ingenieria
2. El entorno Matlab
3. Funciones de Matlab
4. Algebra lineal y matrices
Parte II. Tecnicas numericas
5. Solucion de sistemas de ecuaciones lineales
6. Interpolacion y ajuste de curvas
7. Integracion y derivacion numerica
8. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Parte III. Temas especiales
9. Matematicas simbolicas
10. Procesamiento de señales
11. Sistemas de control
Apendice A. Resumen de funciones Matlab
Soluciones completas a los problemas !Practique!
Indice
                        
Document Text Contents
Page 1

Segunda Edición I

Page 2

Solución de problemas
de ingeniería con MATLABO

Page 176

SEC. 5.2 SOLUCIONES EMPLEANDO OPERACIONES DE MATRICES 155

. d / i / ( ~ 6 ////////í~//'/. ////TI ///*/+//Y+/ ~/e//.í/:íh//fC ///////,Y>/,& d////</</ílcj . .,y .,&///m/
ry/r~.í~/,/í// 4 g . j w//i~>wh+> ~d,/r~/~>////í, A, or//(/~/+/i 0.2. % / , P ~ / , , ,/// CP/, , ~m/ í / r / b , ///, P dc/'-
(4 /;/diw/ .í/.P/.;/F>hv//</ .>/, </,.;,T///, Ti// . LA 'y .A'/, , d.' 4 ,A'

Un sistema de ecuaciones es no singular* si la matriz A que contienen los coefi-
cientes de las ecuaciones es no singular. Recuerde que en la sección 4.3 dijimos que el
rango de una matriz puede servir para determinar si es no singular. Por tanto, a fin
de evitar errores, evalúe el rango de A (usando la función rank) para asegurarse de
que el sistema sea no singular antes de tratar de calcular su solución. Ahora presen-
taremos dos métodos para resolver un sistema no singular.

DIVISIÓN DE MATRICES

En MATLAB, podemos resolver un sistemaí* de ecuaciones simultáneas usando divi-
sión de matrices. La solución de la ecuación de matrices AX = B puede calcularse
usando división izquierda de matrices, como en A\B; la solución de la ecuación de
matrices XA = B puede calcularse usando división derecha de matrices, como en B/A.
(MATLAH usa una técnica numérica de eliminación gaussiana para realizar la divi-
sión de matrices tanto izquierda como derecha.)

Como ilustración, podemos definir y resolver el sistema de ecuaciones del ejem-
plo anterior usando la ecuación de matrices AX = B como se muestra en estas instruc-
ciones:

El vector x contiene ahora los siguientes valores: -2, 5, -6. Para confirmar que los
valores de x sí resuelven las ecuaciones, podemos multiplicar A por x usando la ex-
presión A*X. El resultado es un vector de columna que contiene los valores 10,5, -1.

También podemos definir y resolver el mismo sistema de ecuaciones usando la
ecuación de matrices XA = B como se muestra en las siguientes instrucciones:

El vector x contiene ahora los siguientes valores: -2, 5, -6. Para confirmar que los
valores de x sí resuelven las ecuaciones, podemos multiplicar x por A usando la ex-
presión X*A. El resultado es un vector de columna que contiene los valores 10,5, -1.

Si un conjunto de ecuaciones es singular, se exhibe un mensaje de error; el vector
de solución puede contener valores de NaN o +m O -m, dependiendo de los valores de
las matrices A y B. Un conjunto de ecuaciones también puede definir un sistema que
contiene algunas ecuaciones que describen hiperplanos muy cercanos al mismo
hiperplano o que casi son hiperplanos paralelos. Estos sistemas se denominan siste-
mas mal condicionados. MATLAB calcula una solución, pero exhibe un mensaje de
advertencia para indicar que los resultados podrían ser inexactos.

* Aqu í debe suponerse q u e e l s istema e s cuadrado (M=N) y que , por tanto, A es cuadrada
** Nuevamen te , aquí el s istema debe ser cuadrado para poder aplicar esta técnica.

Page 177

156 CAI'. 5 SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

También podemos resolver un sistema de ecuaciones usando la inversa de la matriz
A, siempre que exista dicha inversa. Por ejemplo, supongamos que A, X y B son las
matrices que definimos antes:

Entonces, AX = B. Suponga que premultiplicamos ambos miembros de esta ecuación
de matrices por A-', así:

A-'AX = A-'B

Dado que A-'A es igual a la matriz identidad 1, tenemos:

IX = A-'B

o sea

X = A-'B

En MATLAB, podemos calcular esta solución usando el siguiente comando:

Esta solución se calcula usando una técnica diferente de la resolución que emplea
división izquierda de matrices, pero ambas soluciones serán idénticas si el sistema
no está mal condicionado.

Este mismo sistema de ecuaciones puede resolverse también usando la inversa
de una matriz si el sistema se expresa en la forma XA = B, donde:

x = [x, x2 xi1 A -i -:] B 5 -11
-1 -1

Si postmultiplicamos ambos miembros de la ecuación de matrices por A-', tenemos

Puesto que AA-' es igual a la matriz identidad 1, tenemos:

XI = BA-'

o sea,

En MATLAB, podemos calcular esta solución con el siguiente comando:

Tenga presente que B debe definirse como vector fila para poder usar esta forma de
resolución:

' Existen otras instrucciones, numérica y computacionalmente muy eficaces, para resolver no sólo siste-
mas cuadrados, sino sistemas M N; consulte, por ejemplo, el comando help r re f .

Page 351

Comando MATLAB

format short

format long

format short e

format long e

format bank

format +

Exhibición

por omisión
14 decimales
4 decimales
15 decimales
2 decimales
+, -, espacio

Ejemplo

15.2345

15.23453333333333

1.5235e+01

1.523453333333333e+Ol

15.23

+

Operación Forma algebraica MATLAE

suma a + b
resta a - b
multiplicación a x h

división a -
b

exponenciación ab

Operación Forma algebraica MATLAB

suma a + b a + b
resta a - b a - b
multiplicación a x h a.*b

división a - a./b
h

exponenciación a" a .Ab

tipo de línea indicador tipo de punto indicador

continua -
guiones -
punteada
guiones y puntos -

punto
más +
estrella *
círculo O
marca x

Page 352

Operador relaciona1 Interpretación

menor que
menor o igual que
mayor que
mayor o igual que
igual
no igual

Operador lógico Símbolo

no (not)
Y (and)
0 (0r)

falso falso verdadero falso falso
falso verdadero verdadero verdadero falso
verdadero falso falso verdadero falso
verdadero verdadero falso verdadero verdadero

Rectangularlpolar

b
Y = d a2 + b2, 0 = tan '- a
a = r.cos(O), b = r.sen(0)

Fórmulas de Euler

Números complejos

a + ib = r elH
b

donde r=da2+b2, O=tan l - a
a = r.cos(e),b = r.sen(0)

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