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Page 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,
GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL
INGENIERÍA DE SISTEMAS

* RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

CURSO

DOCENTE

ESTUDIANTES

: Estad́ıstica II

: ROMERO PLACENCIA, Jackson M’Coy

: ÑAHUI MARTINEZ, Fabio

: PRADO VASQUEZ, Luis Miguel

: RUA RIVEROS, Florencio

: TRISTAN QUISPE, Ricardo

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1. EJERCICIO 3
Las cajas de cereal de un productor deben tener un contenido promedio de 160 gramos. Si

en una muestra al azar de 36 cajas del cereal resultaron las siguientes sumas:

36∑
i=1

Xi = 5724;
36∑
i=1

X2i = 910302,6018

a) Calcule la media y la desviacion estandar de la muestra. ¿Cuanto es el error t́ıpico de la
media?

b) Describa la distribucion de la media de la muestra.

c) Estime la media de la poblacion apliacando un intervalo de confianza del 95 %

d) si los consumidores afirman que el producto no cumple con la especificacion del promedio,
¿Cree usted que tienen la razon?

e) ¿Es el error de estimacion puntual de la media menor a 0.5 gramos?

f) Si con los datos de la muestra el contenido promedio se estima en el intervalo, 159 �
0.835,¿qué nivel de significación se aplicó?

g) Si el costo del producto en soles es igual a 5 % de su duracion menos 3 soles, estime el
costo promedio del producto en un intervalo de confianza del 95 %

Solución a)

Datos

n = 36

X =
∑36
i=1 Xi
n

=
5724
36

X = 159

S2 =
∑36
i=1 (Xi � X)2
n � 1

= (
1

n � 1
)(

36∑
i=1

X2i � nX)
2

= (
1
35

)(910302,6018 � 36 � 1592)

S = 2,309

ET = σX =
S

p
n

ET = σX = 0,3848

Solución b)

Como el número de datos es mayor que 30, entonces se distribuye aproximadamente
con una normal.

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Datos b

U=precio venta - costo producción=200 - 100L
n=36 ; P

(
U ≤ 0,5

)
=?

∗ µU = E
(
U
)

= E (2,00− 100L) = E (2,00) − E (100L) = 2,00 − 100E (L) =
2,00− 1,2 = 0,8 = µU
∗ σ2U = V ar

(
U
)

= V ar (2,00− 100L) = V ar (2,00) − V ar (100L) = 0 + 1002 ×
V ar (L) = 1002 × 1,44× 10−4 = 1,44
=⇒ σ2

U
= σ

2
U

n
= 1,4436 = 0,04

=⇒ σU =


1,44 = 1,2

) P
(
U ≤ 0,5

)
= P

(
U−µ
σ
U
/

n
≤ 0,5−0,8

1,2/


36

)
= P (Z ≤ −1,5) = 0,06681

5. EJERCICIO 15
En un estudio socioeconomico se tomo una muestra aleatoria de 100 comerciantes informales

y se encontro entre otros datos que solo el 30 % de ellos tienen ingresos superiores a $ 800 por
mes.

a) Obtenga los extremos del intervalo de estimacion de la proporción de todos los comer-
ciantes con ingresos superiores a $ 800, al nivel de confianza del 98 %.

b) Si la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a $ 800 se estimo entre
20.06 % y 39.94 %, ¿ Que nivel de confianza se aplicó?

Solución

Datos:
N = 400, n = 36, µ=2.500 dólares, σ=660 dólares
X: monto de compras mensuales.

P (x > 2765) =?

⇒ P
(

x−µ
σx/

n
> 2765−2,500

110/


36

)
= P (Z > 2,52) = 1− P (Z > 2,52) = 1− 0,99413 = 0,0058

6. EJERCICIO 18
Un fabricante escoge una muestar al azar de 20 unidades de su producción encontrando una

defectuosa. Con este resultado afirma que es el 5 % la proporción de unidadesdefectuosas de
todas las unidades producidas.

a) ¿Tiene razón el fabricante?

b) ¿Tiene razón el fabricante si en una muestra al azar de 400 unidades producidas se
observaron 40 unidades defectuosas?. Aplique el método del intervalo de estimación con
un nivel de confianza del 95 %.

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Solución

Datos

X :“Cuentas por cobrar”
error muestral E = |X − µ|
σ = $2000
N = 10000
n =?
Hallar:

P [|X − µ| ≤ 192] = 0,95

P [
|X − µ|
σX


192
σX

] = 0,95

Calculemos Desviación estándar

σX =
2000

n



(10000− n)
10000− 1

σX =
2000

n



10000− n


9999

σ2
X

=
(2000)2
n


10000− n

9999

σ2
X

=
400,040004

n
∗ (10000− n)

σ =X


(
400,040004

n
)− 400,040004

Reemplazando la desviación estándar en la probabilidad

P [
|X − µ|
σX


192√

(400,040004
n

)− 400,040004
] = 0,95

Por la propiedad del valor absoluto se tiene:

2 ∗ P [Z ≤
192√

(400,040004
n

)− 400,040004
]− 1 = 0,95

P [Z ≤
192√

(4000400,04
n

)− 400,040004
] = 0,975

buscando en tabla
192√

(4000400,04
n

)− 400,040004
= 1,96

36864
(4000400,04

n
)− 400,040004

= 3,8416

36864 =
15367936,79

n
− 1536,793679

38400,79368n = 15367936,79

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Yt ∼ N [1080, (39)2]
calculemos P [1002 ≤ Yt ≤ 1158]

P [
1002− 1080

39

Yt − µ
σ


1158− 1080

39
]

P [−2 ≤ Z ≤ 2]

P [Z ≤ 2]− P [Z ≤ −2]

0,97725− 0,022775 = 0,954475

∴ La probabilidad de que este total sea de 1002 a 1158 minutos es de 0.0954475

Solución b

tomando datos de la solución a tenemos:
µX = 30
σX = 1,08333
∴ X ∼ N [30.(1,08333)2]
Calculemos:

P [27,877 ≤ X ≤ 32,123]

P [
27,877− 30

1,08333

X − µ
σ


32,123− 30

1,08333
]

P [−1,96 ≤ Z ≤ 1,96]

P [Z ≤ 1,96]− P [Z ≤ −1,96]

0,97500− 0,02500 = 0,95

∴ La probabilidad de que esta media se halle entre 27.877 y 32.123 minutos es de
0.95

Solución c

Como la distribución de los tiempos es normal =⇒ X ∼ N [30, (6,5)2]
Calculemos:

P [X ≥ 38,32]

P [
X − µ
σ


38,32− 30

6,5
]

P [Z ≥ 1,28]

1− P [Z ≤ 1,28]

1− (0,89973) = 0,1003

∴ el porcentaje de tiempos empleados para hacer la tarea superiores a 38.32 minutos
es de 10.03 %.

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Solución d

Sea P̂ la proporción entonces tenemos:
µ


= p
donde p porcentaje o probabilidad a favor de hacer la tarea superiores a 38.32 minutos
calculado en c.

=⇒ µ


= p = 0,1003 ∼= 0,10

σ2


=
p(1− p)

n

σ2


=
0,1003 ∗ (1− 0,1003)

36
σ2


= 0,002501
σ


= 0,05006 ∼= 0,05

∴ P̂ ∼ N [0,10, (0,05)2]

Solución e

Calculemos P [0,03 ≤ P̂ ≤ 0,17]

P [
0,03− 0,1√

(0,1∗0,9)
36


P̂ − p√
p(1−p)
n


0,17− 0,1√

(0,1∗0,9)
36

]

P [−1,4 ≤ Z ≤ 1,4]
P [Z ≤ 1,4]− P [Z ≤ −1,4]

0,91924− 0,08076 = 0,83848

∴ la probabilidad aproximada de que esta proporción esté entre 0.03 y 0.017 es de
0.83848.

12. EJERCICIO 36
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra al azar de tamaño n escogida de una población X bernoulli

B(1,p). Dadas las siguientes estad́ısticas:

θ̂1 =
∑n
i=1 Xi −Xk
n− 1

, θ̂2 =
∑n
i=1 X

2
i

n

a) ¿Son cada una un estimador insesgado del parámetro p?

b) Si ambas son insesgadas,¿Cuál de las dos es de varianza mińıma?

Solución

Datos: n1 = 32; n2 = 36; µ1 = µ2; σ21 = 16; σ22 = 9

P (x1 − x2 > 2) = P

 (x1−x2)−(µ1−µ2)√

� 21
n1

+
� 22
n2

> 2−0√ 16
32 +

9
36


 = P (Z > 2,30) = 1− P (Z ≤ 2,30)

= 1− 0,98525 = 0,0104

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